30. Pe planul unui pătrat ABCD de latură AB = 6 cm
se ridica, perpendicularele AM = 12 cm şi BN = 6 cm.
Calculați distanţa de la punctul M la dreapta CN
şi aria triunghiului PMC, unde {P} = MN intersectează (ABC).
demonstrație
1) ∆MCN : MC din ∆MAC dreptunghic în A
cu am AM=12cm și AC diagonala pătratului=6√2cm
cu teorema lui Pitagora MC=√AM²+AC²=√12²+(6√2)²=
√(144+72)=√216=6√6cm
NC din ∆NBC dreptunghic în B cu BN=6cm și BC=6cm
=> NC=6√2cm
MN din ∆MFN dreptunghic în F cu MF=AM - BN=12-6=6cm
și FN=6cm MN=6√2
=> ∆MCN isoscel cu baza MC
distanța cerută este înălțimea pe NC
h din N =√NC²-(MC/2)²=(6√2)²-(3√6)²=3√2cm
aria MCN=MC×h/2=6√6×3√2/2=18√3cm²
aria MCN=NC ×dist/2
dist=2×18√3/6√2=6√3/√2=6√6/2=3√6cm
2) aria ∆ PMC
NP=2MN =2×6√2=12√2cm
CP din ∆ CPB dreptunghic isoscel în B
CP=BP√2=6√2cm și MC=6√6cm
verificăm ∆PMC dacă este dreptughic
din NP²=CP²+MC²
(12√2)²=(6√2)²+(6√6)²Adevarat
cu catetele CP și MC
aria ∆PMC=CP×MC/2=6√2×6√6/2=36√3cm²
[tex].[/tex]
