5. În figura alăturată, cercul cu diametrul BC intersectează laturile AB și AC ale triunghiului ABC în punctele D, respectiv E. Dacă P este punctul comun al dreptelor BE și CD, iar măsura unghiului A este 50°, atunci măsura unghiului BPC este:
a) 50°;
b) 90°;
c) 100°;
d) 130°.​

[tex]R\breve{a}spuns: \boldsymbol{d) \ \red{130^{\circ}}}[/tex]

Rezolvare:

BC este diametru ⇒ m(arc BC) = 180°

Unghiul A este exterior cercului. Aplicăm formula:

[tex]m(\measuredangle BAC) = \dfrac{m(\widehat {BC}) - m(\widehat {DE})}{2}[/tex]

[tex]m(\widehat {BC}) - m(\widehat {DE}) = 2\cdot m(\measuredangle BAC)[/tex]

[tex]m(\widehat {DE}) = 180^{\circ} - 2\cdot 50^{\circ} = 80^{\circ}[/tex]

Unghiul P este interior cercului. Aplicăm formula:

[tex]m(\measuredangle BPC) = \dfrac{m(\widehat {BC}) + m(\widehat {DE})}{2}[/tex]

[tex]m(\measuredangle BPC) = \dfrac{180^{\circ}+80^{\circ}}{2} = \dfrac{260^{\circ}}{2}[/tex]

[tex]m(\measuredangle BPC) = 130^{\circ}[/tex]

______

Sau:

Unghiurile D și E sunt unghiuri pe cerc care subîntind diametrul ⇒ au măsurile de 90° ⇒ m(∡BDC) = m(∡BEC) = 90°

⇒ m(∡ADP) = m(∡AEP) = 90°

ADPE este patrulater convex ⇒ suma măsurilor unghiurilor este de 360°

m(DPE)+m(DAE)+m(ADP)+m(AEP)=360°

m(DPE)+50°+90°+90°=360°

⇒ m(DPE) = 130°

∡DPE ≡ ∡BPC (opuse la vârf)

⇒ m(BPC) = 130°

______

✍Reținem:

◉ Măsura unghiului cu vârful în exteriorul cercului este egală cu semidiferența arcelor determinate pe cerc de către laturile sale.

◉ Măsura unghiului cu vârful în interiorul cercului este egală cu semisuma arcelor determinate pe cerc de către laturile sale.

​______

Despre unghiuri exterioare și interioare unui cerc:

• https://brainly.ro/tema/117514
• https://brainly.ro/tema/6418010