Aflati numerele naturale a,b,c,d stiind ca a+1, b+2, c+3 si 5 sunt direct proportionale cu 4, 6, 8 si d+9​

Răspuns:

• a = b = c = d = 1

Explicație pas cu pas:

Scriem relația de proporționalitate directă:

[tex]\displaystyle \frac{a+1}{4} =\frac{b+2}{6} =\frac{c+3}{8} =\frac{5}{d+9}[/tex]

Pentru ultimele două rapoarte facem produsul extremilor = produsul mezilor:

(c + 3) · (d + 9) = 5 · 8

(c + 3) · (d + 9) = 40

cum c și d ∈ ℕ  ⇒  (c + 3) și (d + 9) ∈ ℕ

⇒ (c + 3) și (d + 9) sunt divizori ai lui 40

⇒ (c + 3) și (d + 9) ∈ {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}

Știm că (c + 3) · (d + 9) = 40

⇒ perechea (c + 3), (d + 9) poate fi: (1; 40), (2; 20), (4; 10), (5; 8), (8; 5), (10; 4), (20; 2) sau (40, 1)

deoarece c, d ∈ ℕ ⇒ c + 3 ≥ 3 și d + 9 ≥ 9

Eliminăm perechile necorespunzătoare, în care primul termen < 3 sau al doilea termen < 9.

⇒ perechea (c + 3), (d + 9) poate fi doar (4; 10)

⇒ c = 1 și d = 1

Revenim la șirul de rapoarte egale:

[tex]\displaystyle \frac{a+1}{4} =\frac{b+2}{6} =\frac{1+3}{8} =\frac{5}{1+9}=\mathbf{\frac{1}{2} }[/tex]

⇒

a + 1 = 4 : 2 = 2

a = 1

b + 2 = 6 : 2 = 3

b = 1

⇒ a = b = c = d = 1