Se considera un triunghi ABC si se noteaza cu D simetricul punctului A fata de mijlocul segmentului BC.Demonstreaza ca:
a)AB≡CD
b)AB//CD
c)BD≡AC
dDB//AC


Răspuns :

Răspuns:

Pentru a demonstra fiecare afirmație, putem folosi proprietățile simetriei și ale medianei.

a) Pentru a demonstra că AB ≡ CD (segmentele sunt congruente), vom folosi simetria față de mijlocul segmentului BC și proprietatea congruenței segmentelor.

Fiind dat că D este simetricul lui A față de mijlocul segmentului BC, avem:

1. AD ≡ AD (reflexivitatea congruenței).

2. BD ≡ AC (medianta împarte latura opusă în două segmente egale).

Deci, AB ≡ CD deoarece segmentele AB și CD sunt segmentele conectate de punctele D și A, care sunt simetrice față de mijlocul segmentului BC.

b) Pentru a demonstra că AB // CD (AB este paralel cu CD), vom folosi proprietatea simetriei.

Din ipoteză, știm că D este simetricul lui A față de mijlocul segmentului BC. Deoarece D și A sunt simetrice față de o dreaptă (mijlocul segmentului BC), linia care le unește, BC, este perpendiculară pe linia care unește punctele lor simetrice (linia AB).

c) Pentru a demonstra că BD ≡ AC (segmentele sunt congruente), vom folosi proprietatea medianei.

Medianele dintr-un triunghi împart latura opusă în două segmente egale. Deci, dacă D este simetricul lui A față de mijlocul segmentului BC, atunci BD și AC sunt segmente egale.

d) Pentru a demonstra că DB // AC (DB este paralel cu AC), vom folosi proprietatea simetriei și proprietatea paralelogramului.

Din ipoteză, știm că D este simetricul lui A față de mijlocul segmentului BC. Deoarece D și A sunt simetrice față de o dreaptă (mijlocul segmentului BC), linia care unește punctele lor simetrice, BC, este paralelă cu linia care unește punctele A și D (AD), deoarece laturile opuse ale unui paralelogram sunt paralele între ele.

Prin urmare, am demonstrat fiecare afirmație cerută.