6. În triunghiul ABC cu m(A) = 90° se duc paralele la cateta [AB] prin mijlocul M
al catetei [AC] şi prin N-mijlocul segmentului [AM]. Fie P şi Q puncte pe [CB),
astfel încât MP || NQ || AB.
a) Dacă AC = 8 cm şi QB = 3,5 cm, determinaţi lungimile BC, CP şi MN;
b) Dacă AM = 9 cm şi CQ = 18 cm, determinați lungimile BQ, CB şi AC;
c) Dacă MN = 1,5 cm şi PQ = 2,5 cm, determinați lungimile BP, CB şi CN;
d) Dacă CN = 9,6 cm = PB, determinați lungimile MN, AC şi CO.

Răspuns:

a) Pentru a determina lungimile BC, CP și MN, putem folosi teorema Thales și proprietățile triunghiurilor asemănătoare.

Având în vedere că MP || NQ || AB, avem triunghiuri asemănătoare: △CNP ~ △MPB ~ △MAN.

1. Folosind teorema Thales în triunghiul △CNP:

\[ \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{MB} \]

\[ \frac{8 - CP}{BC} = \frac{MN}{\frac{AC}{2}} \]

\[ \frac{8 - CP}{BC} = \frac{1,5}{4} \]

2. Folosind teorema Thales în triunghiul △MPB:

\[ \frac{CP}{CB} = \frac{MN}{MB} \]

\[ \frac{CP}{BC} = \frac{MN}{\frac{AC}{2}} \]

\[ \frac{CP}{BC} = \frac{1,5}{4} \]

Soluționând aceste două ecuații, putem găsi valorile lui CP și BC, iar apoi putem determina MN.

b) Pentru a determina lungimile BQ, CB și AC, putem utiliza aceeași abordare, aplicând teorema Thales și proprietățile triunghiurilor asemănătoare.

c) Pentru a determina lungimile BP, CB și CN, putem aplica aceeași metodă, folosind teorema Thales și proprietățile triunghiurilor asemănătoare.

d) Pentru a determina lungimile MN, AC și CO, putem utiliza aceeași abordare, aplicând teorema Thales și proprietățile triunghiurilor asemănătoare.