Se dă şirul de numere 1, 7, 5, 7, 6, 1, 7, 5, 7, 6, 1, 7,5,7,6, a) Aflați termenul din şir de pe poziţia 2024. b) Aflați suma primilor 122 de termeni ai şirului. c) Aflați de câte ori apare cifra 7 in primii 753 de termeni ai şirului.
Va rog repede sunt disperată, ofer coroană!!​

Răspuns:

Salut!

a) Pentru a găsi termenul de pe poziția 2024 în șirul dat, putem observa că șirul este format din perioada de lungime 4: 1, 7, 5, 7, 6. Prin urmare, vom împărți poziția 2024 la 4 pentru a identifica la care perioadă a șirului ne aflăm și apoi vom găsi termenul respectiv. \(2024 \div 4 = 506\). Așadar, suntem în perioada a 506-a. Termenul corespunzător este cel de pe poziția 4 în perioada dată, deci este 6.

b) Suma primilor 122 de termeni ai șirului se calculează adunând fiecare termen în parte până la termenul 122. \(1 + 7 + 5 + 7 + 6 + 1 + 7 + 5 + 7 + 6 + ... \). Vom aduna acești termeni pentru a obține suma.

c) Pentru a afla de câte ori apare cifra 7 în primii 753 de termeni ai șirului, vom parcurge șirul și vom număra de fiecare dată când întâlnim cifra 7.

Pentru a rezolva aceste probleme, vom analiza întâi şirul dat și vom observa că acesta este periodic, cu un ciclu de repetiție format din 5 numere: 1, 7, 5, 7, 6. Observăm că acest ciclu se repetă, așadar putem folosi proprietățile secvențelor periodice pentru a răspunde la întrebările puse.

### a) Termenul de pe poziţia 2024

Pentru a afla termenul de pe poziţia 2024, trebuie să determinăm care număr din secvenţa periodică se află pe această poziţie. Numărul poziţiei din ciclul repetitiv poate fi găsit folosind restul împărţirii poziţiei dorite la lungimea ciclului, adică:

\[

\text{Poziția în ciclu} = \text{Restul împărțirii } 2024 \text{ la } 5

\]

Dacă restul este 0, atunci numărul de pe poziția 2024 este ultimul număr din ciclu, altfel este numărul corespunzător restului.

### b) Suma primilor 122 de termeni

Pentru a calcula suma primilor 122 de termeni, putem folosi faptul că suma unui ciclu complet este constantă. Calculăm suma unui ciclu complet (1+7+5+7+6) și înmulțim această sumă cu numărul complet de cicluri conținute în primii 122 de termeni. Pentru termenii rămași neîncadrați într-un ciclu complet, adăugăm valorile lor manual la suma totală.

Numărul de cicluri complete este partea întreagă a împărțirii numărului total de termeni la lungimea ciclului, adică:

\[

\text{Număr cicluri complete} = \lfloor \frac{122}{5} \rfloor

\]

### c) Numărul apariţiilor cifrei 7 în primii 753 de termeni

Pentru a afla câte ori apare cifra 7 în primii 753 de termeni, trebuie să știm de câte ori se repetă ciclul complet în 753 de termeni și apoi să înmulțim acest număr cu numărul de apariții ale cifrei 7 într-un ciclu complet (care este 2 în acest caz).

\[

\text{Număr apariții 7} = \text{Număr cicluri complete} \times \text{Număr apariții 7 într-un ciclu}

\]

### Soluţii

Pentru a oferi soluţii exacte, voi calcula acum valorile necesare pentru fiecare dintre subpuncte.

#### a) Termenul de pe poziţia 2024

Poziția în ciclu pentru termenul 2024 este calculată astfel:

\[

2024 \mod 5

\]

#### b) Suma primilor 122 de termeni

Calculăm suma unui ciclu complet și numărul de cicluri complete în 122 de termeni, apoi adăugăm suma termenilor rămași.

#### c) Numărul apariţiilor cifrei 7 în primii 753 de termeni

Calculăm numărul de cicluri complete în 753 de termeni și înmulțim cu numărul de apariții ale cifrei 7 într-un ciclu.

Să trecem acum la calculul efectiv al acestor valori.

Rezultatele calculului sunt următoarele:

a) Termenul de pe poziţia 2024 în şir este al patrulea termen din ciclu, adică 7.

b) Suma primilor 122 de termeni ai şirului este 632.

c) Cifra 7 apare de 300 de ori în primii 753 de termeni ai şirului.

Aceste soluţii sunt obţinute folosind proprietăţile secvenţelor periodice și calcul matematic direct.