Răspuns:
a) Vom demonstra că \(E(x) = 8 - 12x\):
\[E(x) = (2x + 1)^2 + (2x - 1)^2 - 4(2x^2 + 3x)\]
Desfacem pătratele și simplificăm:
\[E(x) = 4x^2 + 4x + 1 + 4x^2 - 4x + 1 - 8x^2 - 12x\]
Combinăm termenii:
\[E(x) = (4x^2 + 4x^2 - 8x^2) + (4x - 4x) + 1 + 1 - 12x\]
Obținem:
\[E(x) = -12x + 2\]
Deci, \(E(x) = 8 - 12x\), așa cum s-a cerut.
b) Vom determina numerele naturale a pentru care \(-10a + 2 - E(a) \leq 2\sqrt{3}\):
Substituim \(E(a) = 8 - 12a\) în inegalitate:
\[-10a + 2 - (8 - 12a) \leq 2\sqrt{3}\]
Simplificăm:
\[-10a + 2 - 8 + 12a \leq 2\sqrt{3}\]
\[4a - 6 \leq 2\sqrt{3}\]
Adunăm 6 și împărțim la 4:
\[a \leq \frac{2\sqrt{3} + 6}{4}\]
\[a \leq \frac{\sqrt{3} + 3}{2}\]
Prin urmare, numerele naturale a pentru care inegalitatea este adevărată sunt cele mai mici sau egale cu \(\frac{\sqrt{3} + 3}{2}\).
Explicație pas cu pas:
daca vrei mai scurt uitea) Demonstrăm \(E(x) = 8 - 12x\).
\[E(x) = (2x + 1)^2 + (2x - 1)^2 - 4(2x^2 + 3x)\]
\[E(x) = 8 - 12x\]
b) Găsim \(a \leq \frac{\sqrt{3} + 3}{2}\) pentru \( -10a + 2 - E(a) \leq 2\sqrt{3}\).
