Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să ne uităm la derivata funcției și să analizăm semnele acesteia pentru a determina intervalele de creștere și descreștere.
a) Pentru ca funcția să fie strict crescătoare pe un interval și strict descrescătoare pe restul, trebuie ca derivata să fie pozitivă pe primul interval și negativă pe restul. Așadar, trebuie să găsim m astfel încât derivata să fie pozitivă pentru anumite valori ale lui x și negativă pentru restul. Putem face acest lucru analizând semnele coeficienților din derivată.
Derivata funcției f este:
f'(x) = 2(m-3)x - (3m-1)
Pentru a fi pozitivă pe primul interval și negativă pe restul, trebuie să găsim intervalele în care f'(x) > 0 și f'(x) < 0. Apoi putem analiza aceste intervale pentru a determina valorile lui m care satisfac condițiile date.
b) Pentru ca funcția să fie strict crescătoare pe întreaga sa domeniu de definiție, derivata trebuie să fie strict pozitivă. Putem rezolva această problemă similar cu cea de mai sus, găsind intervalele în care derivata este strict pozitivă și apoi determinând valorile lui m care satisfac această condiție.
