Pentru a rezolva această problemă, vom folosi relațiile dintre razele bazei mari (R), bazei mici (r) și generatoarea (g) ale unui trunchi de con circular drept.
Conform enunțului, avem următoarele proporții:
R : r : g = 11 : 4 : 25
Vom nota razele bazei mari și bazei mici cu R și r, respectiv, iar generatoarea o vom nota cu g.
a) Pentru a găsi aria totală a trunchiului de con, vom folosi formula:
A_totala = π(R + r)g + πR²
Trebuie să găsim valorile lui R, r și g pentru a calcula aria totală.
Având în vedere proporțiile, putem scrie următoarele ecuații:
R/r = 11/4 (1)
R/g = 11/25 (2)
r/g = 4/25 (3)
Putem rezolva această sistemă de ecuații pentru a găsi valorile lui R, r și g.
Din ecuația (1), putem exprima R în funcție de r:
R = (11/4) * r
Substituind în ecuația (2):
(11/4) * r / g = 11/25
Simplificând, obținem:
g = (4/11) * (25/11) * r
Substituind în ecuația (3):
r / [(4/11) * (25/11) * r] = 4/25
Simplificând, obținem:
1 = 1
Ecuația (1) ne spune că R este proporțional cu r, deci putem alege o valoare convenabilă pentru r, cum ar fi 4.
r = 4
Folosind această valoare în ecuațiile (1) și (2), obținem:
R = (11/4) * 4 = 11
g = (4/11) * (25/11) * 4 = 25
Avem acum valorile lui R, r și g:
R = 11
r = 4
g = 25
Putem calcula acum aria totală a trunchiului de con folosind formula dată:
A_totala = π(11 + 4) * 25 + π * 11²
A_totala = π * 15 * 25 + π * 121
A_totala = 375π + 121π
A_totala = 496π cm²
Deci, aria totală a trunchiului de con este de 496π cm².
b) Pentru a găsi aria secțiunii axiale a trunchiului de con, vom folosi formula:
A_secțiune_axiala = πR²
Avem deja valoarea lui R:
R = 11
Putem folosi această valoare în formula:
A_secțiune_axiala = π * 11²
A_secțiune_axiala = 121π cm²
Deci, aria secțiunii axiale a trunchiului de con este de 121π cm².
