Răspuns:
[tex]\boldsymbol {\red{c)2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
AM este bisectoarea BAD ⇒ ∡DAM = 45° ⇒ ΔDAM este dreptunghic isoscel ⇒ AM = AD√2 = 4√2 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔABD:
[tex]BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{64} = 8 \ cm[/tex]
Teorema bisectoarei în ΔABD:
[tex]\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{OB}{OD} \Rightarrow \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{4\sqrt{3} }{4} = \sqrt{3}[/tex]
Din AB║CD și M∈CD ⇒ AB║DM ⇒ ΔAOB~ΔMOD (T. Thales)
[tex]\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{OD} \Rightarrow \dfrac{OA}{OM} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} \Rightarrow \dfrac{OA+OM}{OM} = \dfrac{\sqrt{3}+1}{1} \Rightarrow \dfrac{AM}{OM} = \dfrac{\sqrt{3}+1}{1} \Rightarrow \dfrac{4\sqrt{2} }{OM} = \dfrac{\sqrt{3}+1}{1} \Rightarrow OM = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{4\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{4\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \dfrac{4\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \dfrac{4\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \boldsymbol {OM = 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}[/tex]
