un recipient metalic are forma unei prisme triunghiulare regulate a b c a' b' c' cu latura bazei ab = 6 dm și suma lungimilor muchiilor care pornesc din vârful a = 20 dm a Aflați lungimea înălțimii a' bc b.Calculați tangenta unghiului format de planele aa'bc a prim b c și a b c. c. Stabiliți dacă recipient încap sau nu 130 L de apă în calcule se va utiliza valoarea aproximativă √3​

Răspuns:

[tex](a)\boldsymbol{ \red{8 \ dm}}; (b)\boldsymbol{ \red{\dfrac{8\sqrt{3}}{9}}}; (c) \boldsymbol{ \red{NU}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

ABCA'B'C' prismă triunghiulară regulată, AB = 6 dm

a) AB + AC + AA' = 20 dm ⇒ AA' = 20 - 12 ⇒ AA' = 8 dm

b) Ducem AM ⊥ BC, M ∈ BC ⇒ AM înălțime în ΔABC echilateral

[tex]AM = \dfrac{AB\sqrt{3} }{2} = \dfrac{6\sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3} \ dm[/tex]

AA'⊥(ABC), AM⊥BC, BC⊂(ABC) ⇒ A'M⊥BC (T3⊥)

⇒ ∡((A'BC), ∡(ABC)) = ∡AMA'

[tex]tg \ \widehat{AMA'} = \dfrac{AA'}{AM} = \dfrac{8}{3\sqrt{3} } = \bf \dfrac{8\sqrt{3}}{9}[/tex]

c) Volumul prismei:

[tex]\mathcal{V} = \mathcal{A}_{b} \cdot h = \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4} \cdot AA' = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} \cdot 8 = 72\sqrt{3} \ dm^3[/tex]

Știm că 1 dm³ = 1 litru

[tex]\mathcal{V} = 72\sqrt{3} \ \ell[/tex]

[tex]72\sqrt{3} = 72 \cdot 1,73 = 124, 56 < 130[/tex]

⇒ nu încap