7. Calculați perimetrul triunghiului ABC știind că ∢A = 90°, tg(∢C) = 0,5 și BC=20 cm.

Cu desen, va rog.

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{ \red{4(5 + 3\sqrt{5}) \ cm}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

ΔABC, ∢A = 90°, tg(∢C) = 0,5, BC=20 cm

[tex]tg \hat C = \dfrac{AB}{AC} = 0,5 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow AC = 2AB[/tex]

Aplicăm teorema lui Pitagora:

AC² + AB² = BC² ⇒ (2AB)² + AB² = 20² ⇒ 5AB² = 400 ⇒ AB² = 80 ⇒ AB = √80 ⇒ AB = 4√5 cm ⇒ AC = 8√5 cm

Perimetrul triunghiului:

P = AB + AC + BC = 4√5 + 8√5 + 20 = 12√5 + 20 = 4(5 + 3√5) cm

✍ Reținem:

Într-un triunghi dreptunghic, cu unghiul ascuțit B de măsură α°, raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului B și lungimea catetei alăturate se numește tangenta unghiului și se notează tg B sau tg α°.

[tex]\boldsymbol{tg \ \alpha = \dfrac{\red{cateta \ opus\breve{a}}}{\blue{cateta \ al\breve{a}turat\breve{a}}} }[/tex]

Răspuns:

Perimetrul triunghiului ABC este 12√5 + 20 cm.

Explicație pas cu pas:

Pentru a calcula perimetrul triunghiului

dreptunghic ABC cu unghiul A drept,

tan(C) = 0, 5 și ipotenuza BC = 20 cm,

urmăm paşii următori:

1. Desenul triunghiului: (poza de mai sus)

Triunghiul dreptunghic ABC cu

∠A = 90°.

BC este ipotenuza.

Punctele A, B și C sunt aranjate astfel încât AB și AC sunt catetele.

2. Determinăm catetele:

tan(C) = (fracție) cateta opusă pe cateta alăturată = 0,5

• Notǎm AB = a și AC = b.

• tan(C) = (fracție) a pe b = 0,5 , deci a =0,5b.

3. Relația dintre catete și ipotenuză:

• Folosim teorema lui Pitagora: a² + b² = c².

• a = 0,5b și c = 20 cm.

• Substituim: (0, 5b)² + b² = 20²

• 0,25b² + b² = 400.

• 1,25b² = 400.

• b² = 320.

• b = √320.

• b = 8√5 cm.

• a = 0,5b = 4√5 cm.

4. Calculǎm perimetrul:

• Perimetrul P = AB + AC +

BC.

• P = 4√5 + 8√5 + 20.

• P = 12√5 + 20.