5p
5. In figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic MNPQ in exteriorul căruia s-a construit semicercul de
diametru NP. Se ştie că MN paralel QP, M egal Q =90 grade, MQ=cm, QP=9cm, NP=6 cm, iar QP NP={T}.
(2p) a) Arătați că MN=3(3+ √3) cm.
b) Aratati ca MN egal cu 3(3+rad3)​

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{ \red{MN = 3(3+\sqrt{3}) \ cm}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

MNPQ trapez dreptunghic, NP diametrul semicercului, MN║QP, ∡M=∡Q=90°, MQ = 3 cm, QP = 9 cm, NP = 6 cm, QP∩NP={T}

a) Construim PR⊥MN, R∈MN

∡M=∡Q=90° ⇒ QM⊥MN, MN║QP, PR⊥MN ⇒ MQPR este dreptunghi ⇒ MQ≡PR ⇒ PR = 3 cm și QP≡MR ⇒ MR = 9 cm

PR⊥MN ⇒ ∡PRN = 90° ⇒ aplicăm teorema lui Pitagora în ΔPRN

[tex]NR = \sqrt{NP^2-PR^2} = \sqrt{6^2-3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \ cm\\[/tex]

[tex]MN = MR + NR = 9 + 3\sqrt{3} = \bf 3(3 + 3\sqrt{3}) \ cm\\[/tex]

[tex]q.e.d.[/tex]