Fie f, g:D->R, unde D este mulțime simetrica. Arătați ca
a) dacă f,g sunt funcții pare atunci f+g este funcție para
b) dacă f,g sunt funcții impare atunci f+g este funcție impară

Răspuns:

Functie   para f(x)=x   f(-x)=f(x)

functie   impara g(-x)=-g(x)

a)f(x)+g(x)=f(x)+g(x)

f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x) functie    para

b)f(x)+g(x)=f(x)+g(x)

f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x) ) functie    impara

Explicație pas cu pas:

a) f,g pare ⇒ f(x) = f(-x)

                     g(x) = g(-x), ∀x∈D

Adunând cele 2 egalitati ⇒ f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x)

                                              (f+g)(x) = (f+g)(-x), ∀x∈D ⇒ f+g para

b)  f,g impare ⇒ f(x) = -f(-x)

                          g(x) = -g(-x), ∀x∈D

Adunând cele 2 egalitati ⇒ f(x) + g(x) = -f(-x) + (-g(-x))

                                              (f+g)(x) = -(f(-x) + g(-x))

                                              (f+g)(x) = -(f+g)(-x), ∀x∈D ⇒ f+g impara