Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a)
Datorita teoremei insumarii integralelor (ie. primitivelor), putem considera fiecare termen ca reprezentand o functie distincta.
Apoi, aplicam regula puterii pentru fiecare functie astfel obtinuta.
Avem:
[tex]\int\ {x^{2012} } \, dx = \frac{x^{2013}}{2013} \\\int\ {x^{2011} } \, dx = \frac{x^{2012}}{2012} \\\int\ {x^{2} } \, dx = \frac{x^{3}}{3} \\\int\ {x } \, dx = \frac{x^{2}}{2} \\[/tex]
[tex]F(x) = \frac{x^{2013}}{2013} + \frac{x^{2012}}{2012} +\frac{x^{3}}{3} +\frac{x^{2}}{2} + C[/tex]
Dar pentru ca F(0)=1, insemna ca C = 1. Deci primitiva finala este:
[tex]F(x) = \frac{x^{2013}}{2013} + \frac{x^{2012}}{2012} +\frac{x^{3}}{3} +\frac{x^{2}}{2} + 1[/tex]
b)
Editorul de formule e foarte prost, asa ca o sa scriu direct.
In primul rand, trebuie sa inlocuiesti f(x) cu f(x) pe care ti-l da problema la inceput. Apoi simplifici, astfel incat sa scapi de numitorul x+1. In cele din urma o sa ajungi cu x^2011 + x dx. Aflii primitiva acestuia, dupa cum am aratat la a).
Apoi calculezi integrala definita de la 0 la 1. Prima data inlocuiesti in primitiva obtinuta x-ul cu 1, apoi il inlocuiesti cu 0, iar rezultatele le scazi. Ar trebui sa obtii 1007/2012 - 0 = 1007/2012.
