Răspuns:
e)
Explicație pas cu pas:
Fie funcția [tex]f(x)=\int_{0}^{x}{e^{t^2}dt}-\left(x+\frac{1}{x}\right),\quad \forall x\in\left[1,2\right].[/tex]
Să observăm că [tex]t<1\implies t^2<t\implies e^{t^2}<e^t\implies \int_{0}^{1}{e^{t^2}dt}<\int_0^1{e^tdt}=e-1[/tex].
De aceea vom avea [tex]f(1)=\int_0^1{e^{t^2}dt}-2\le \int_0^1{e^tdt}-2=e-3<0.[/tex]
Pe de altă parte observăm că [tex]t>1\implies t^2 > t\implies e^{t^2}>e^t\implies \int_1^2{e^{t^2}dt}>\int_1^2{e^tdt}=e(e-1)>e>\frac{5}{2}[/tex]
De unde vine că [tex]f(2)=\int_0^2{e^{t^2}dt}-\frac{5}{2}\ge\int_1^2{e^{t^2}dt}-\frac{5}{2}>0.[/tex]
Fiind [tex]f[/tex] o funcție continuă în [tex][1,2][/tex] (se verifică continuitatea ei prin teorema fundamentală al calcului integral), teorema lui Bolzano ne garantează un [tex]c\in \left(1,2\right)[/tex] în care [tex]f(c)=0[/tex].
