[tex]l = \lim\limits_{n\to \infty}\Big[n\sqrt n(\sqrt{n+1}-a\sqrt n+\sqrt{n-1}\Big] = \\ \\ =\lim\limits_{n\to \infty}\Big[\sqrt{n^4+n^3}-an^2+\sqrt{n^4-n^3}\Big] \\ \\ \\\sqrt{n^4+n^3} \approx n^2+\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{8},\quad n\to \infty \\ \\\sqrt{n^4-n^3}\approx n^2-\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{8},\quad n\to \infty\\ \\\\ l = \lim\limits_{n\to \infty}\Big[n^2+\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{8}-an^2+n^2-\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{8}\Big] =[/tex]
[tex]= \lim\limits_{n\to \infty}\Big(2n^2-an^2-\dfrac{1}{4}\Big) = \lim\limits_{n\to \infty}\Big[n^2(2-a)-\dfrac{1}{4}\Big] \\ \\\Rightarrow a = 2 \\ \\ \Rightarrow \boxed{l = -\dfrac{1}{4}}[/tex]
Am scris acele aproximări fiindcă:
[tex]n^2+\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{8}\text{ este asimptota parabolica pentru }\sqrt{n^4+n^3},\quad n\to +\infty\\ \\ n^2-\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{8}\text{ este asimptota parabolica pentru }\sqrt{n^4-n^3},\quad n\to +\infty[/tex]
Asimptotele astea trebuie învățate, pentru a evita calculul în plus.
