f = X³+2X²+X+m
Se foloseste o proprietate a polinoamelor cu coeficienți întregi.
Dacă polinomul are o radacină intreagă, atunci aceasta divide termenul liber (adică m).
Considerăm rădacina întreagă A.
[tex]f(A) = A^3+2A^2+A+m = 0\\ \\A~\big|~m\Rightarrow m = kA,\quad k\in \mathbb{Z}^* \\ \\\Rightarrow A^3+2A^2+A+kA = 0\\ \Rightarrow A\Big[A^2+2A+(1+k)\Big] = 0\\ \\\boxed{1}\quad A = 0\Rightarrow m = 0,\quad (F) \\\\\boxed{2}\quad A^2+2A+1+k = 0\\ \\ \Rightarrow (A+1)^2 = -k\\ \\ \text{Observam ca pentru }k > 0\Rightarrow \Delta < 0\\ \\ \text{Pentru } k = -1 \text{ avem:}\\ \\ (A+1)^2 = 1 \Rightarrow A = -2 \in \mathbb{Z}\\ \\ \Rightarrow m = (-1)\cdot (-2) \Rightarrow \boxed{m = 2}[/tex]
m = 2 este număr natural prim, deci am găsit soluția.
