a)
[tex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x) = \begin{cases}x,\quad x\in \mathbb{Q}\\ 1-x,\quad x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases} \\ \\\\ (f \circ f)(x) = f\Big(f(x)\Big) = \begin{cases} f(x),\quad f(x)\in \mathbb{Q}\\ 1-f(x),\quad f(x) \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases} =[/tex]
[tex]= \begin{cases}\begin{cases} x,\quad x\in \mathbb{Q}\, \cap \, \mathbb{Q} \\ 1-x,\quad x\in \mathbb{Q}\, \cap \, \mathbb{(\mathbb{R}-\mathbb{Q})} \end{cases} \\\\ \begin{cases} 1-x,\quad 1-x\in \mathbb{(\mathbb{R}-\mathbb{Q})}\,\cap\, \mathbb{Q} \\ 1-(1-x),\quad 1-x\in \mathbb{(\mathbb{R}-\mathbb{Q})}\, \cap \, \mathbb{(\mathbb{R}-\mathbb{Q})} \end{cases}\end{cases}=[/tex]
[tex]=\begin{cases}\begin{cases} x,\quad x\in \mathbb{Q} \\ 1-x,\quad x\in \varnothing \end{cases} \\\\ \begin{cases} 1-x,\quad 1-x\in \varnothing \\ x,\quad x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}} \end{cases}\end{cases}=\\ \\\\= \begin{cases} x,\quad x\in \mathbb{Q}\\x,\quad x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\\\end{cases}\Bigg|= x\in \mathbb{Q}\cup (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) = x\in \mathbb{R} \\ \\\\ \Rightarrow (f\circ f)(x) = x,\quad \forall x\in \mathbb{R}[/tex]
b)
Funcția este bijectivă. deoarece:
x este funcție bijectivă de la -ထ la +ထ, iar 1-x este funcție bijectivă de la -ထ la +ထ (funțiile liniare sunt întodeauna bijective pe domeniul maxim de definiție).
Iar asta înseamna că orice orizontală am duce în sistemul de coordonate, întodeauna orizontala va atinge graficul în cel mult și cel puțin un punct.
(În cel puțin un punct deoarece x aparține mulțimii raționale, iar 1-x aparține mulțimii iraționale, iar cele 2 mulțimi reunite fac mulțimea numerelor reale.
Iar în cel mult un punct deoarece x și 1-x nu vor fi niciodata egale oricare ar fi x aparține lui R, fiindcă una apartine mulțimii rationale, iar cealaltă mulțimii iraționale).
