a) Aratati că numărul B=5^2013-3^2013 este divizibil cu 2
b) Arătați că numărul C=6^2013-3^2012 este divizibil cu 5

[tex](a+b)^n = M_a+b^n \\-M_a \text{ inseamna multiplu de a}\\ \\\\ B = 5^{2013}-3^{2013} = (2+3)^{2013}-3^{2013} = M_2+3^{2013}-3^{2013} = \\ =M_2+0\\ \\ \Rightarrow \boxed{B = M_2}\\ \\\\ C = 6^{2013}-3^{2012} \\ \\U(C) = U(6^{2013}-3^{2012}) = U(6-9^{1006})=U(6-81^{503}) = \\ =U(6-1) = 5 \\ \\ \Rightarrow \boxed{C = M_5}[/tex]

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) Numărul B va fi divizibil cu 2 dacă ultima lui cifră va fi pară.

5^2013 este un număr cu ultima cifră 5, deoarece 5 la orice putere are cifra unităţilor 5. (5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, ....)

Să cercetăm ce ultimă cifră va avea 3^2013..

3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, ... încep să se repete cifrele unităţilor

Deci 3 la orice putere se termină cu una din patru cifre:  3, 9, 7, 1

Pentru a afla cu ce cifră anume se termină 3^2013, vom împărţi 2013 la 4

2013:4=503 (rest 1), deci 3^2013 se termină cu 3, deoarece restul este 1.

Adică numerele de forma 3^exponent, unde exponentul împărţit la 4 dau restul 1 se termină cu cifra 3. Exemple de aşa numere: 3^1, 3^5, 3^9, 3^13, ....

, 3^2013, ....

Deci 5^2013 se termină cu 5, iar 3^2013 se termină cu 3, atunci diferenţa lor se va termina cu 2, care este o cifră pară. Deci B se divide cu 2

b) C=6^2013-3^2012

Argumentăm analog. 6^2013 se termină cu 6 (6 ridicat la orice putere se termină cu 6)

Să cercetăm ce ultimă cifră va avea 3^2012..

2012:4=503 (rest 0), atunci ultima cifră a puterii 3^2012 se termină cu 1

Exemple de aşa numere: 3^4=81, 3^8=81*81, deci se termină cu 1 şamd

Atunci numărul C se va termina cu 5 (deoarece 6-1=5) şi deci C este divizibil cu 5