m=?, x numar real. O idee cineva?

Răspuns:

[tex]m \in (3,7)[/tex]

Explicație pas cu pas:

[tex]x^2 + (m-3)x + (m-3) > 0, \forall x\in \mathbb{R} \iff a > 0, \Delta < 0\\ \\ a = 1 > 0\\ \\ \Delta < 0\\ \\ (m-3)^2 - 4\cdot 1\cdot (m-3) < 0\\ \\ (m-3)^2 - 4(m-3) < 0\\ \\ (m-3)(m-3-4) < 0\\ \\ (m-3)(m-7) < 0\\ \\ (m-3)(m-7) = 0 \implies m_1 = 3, m_2 = 7\\ \\ (m-3)(m-7) < 0, \text{coeficientul lui } m^2 \text{ este 1.} \implies m \in (m_1, m_2)\\ \\ m \in (3,7)[/tex]

Răspuns:

m∈(3, 7)

Explicație pas cu pas:

Este o inecuaţie de gradul II care se rezolvă făcând referire la proprietăţile funcţiei de gradul II f(x)=ax²+bx+c, graficul căreia este parabolă. În cazul nostru a=1, b=m-3, c=m-3. Funcţia noastră trebuie să primească numai valori pozitive pt. orice x din R, deci parabola trebuie să fie situată total deasupra axei x şi deci nu întretaie axa OX. Pentru asta Δ<0, este condi'ia cheie pentru rezolvarea exerciţiului.

Δ=b²-4ac=(m-3)²-4*1*(m-3)=m²-6m+9-4m+12=m²-10m+21. Cum Δ<0, deci

m²-10m+21<0, iarăşi inecuaţie de gradul II

Δ1=(-10)²-4*1*21=100-84=16 >0 , √Δ1=√16=4

[tex]m_{1}=\frac{10-4}{2}=3, m_{2}=\frac{10+4}{2}=7\\[/tex]

Deci m∈(3, 7)