f:R>R, f(x) =
[tex] - {x}^{2} - mx + m[/tex]
Unde m este număr real.
Numerele reale pentru care graficul functiei
este tangent grai Ox sunt:​

[tex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x) = -x^2-mx+m\\ \\ f'(x) = -2x-m\\ \\\text{Fie }f'(A) = 0 \Rightarrow f(A) = 0\\ \\ f'(A)=0\Rightarrow -2A-m = 0 \Rightarrow -2A=m\Rightarrow A = -\dfrac{m}{2}\\ f(A) = 0 \Rightarrow f\Big(-\dfrac{m}{2}\Big) = 0 \Rightarrow -\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{m^2}{2}+m=0 \Rightarrow \\\\ \Rightarrow -m^2+2m^2+4m = 0 \Rightarrow m(m+4)=0 \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow\boxed{m\in \big\{-4;\,0\big\}}[/tex]

fiind o funcție de grad 2, graficul este o parabolă, care poate fi tangentă la Ox doar cu vârful!
Deci condiția din enunț se reduce la a determina pe m astfel că vârful parabolei sa se afle pe Ox, deci ordonata vârfului sa fie 0.
y= - ∆/4a=-(b^2-4ac)/4a= -(m^2+4m)/(-4)= (m^2+4m)/4
y=0 implica
m=0 sau m =-4