Explicație pas cu pas:
Punctul a)
[tex] \lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x-x}=[/tex][tex] \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x(1-\frac{x}{e^x})}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{e^x}}{1-\frac{x}{e^x}}=[/tex][tex]\frac{\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}}{\lim_{x \to \infty} 1-\frac{x}{e^x}}=\frac{0}{1-0}=0 [/tex]
[tex] \lim_{x \to -\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x-x}=Aplicam~l'Hopital=[/tex][tex] \lim_{x \to -\infty} \frac{x'}{(e^x-x)'}=\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^x-1}[/tex][tex]=\frac{\lim_{x \to -\infty} 1}{\lim_{x \to -\infty} (e^x-1)}=\frac{1}{-1}=-1 [/tex]
Punctul b)
Observam ca limita prezenta in imagine este, de fapt, definitia derivatei functiei f in 1: f'(1).
Calculam f'(x).
[tex]f'(x)=\frac{x'*(e^x-x)-x*(e^x-x)'}{(e^x-x)^2}=[/tex][tex]\frac{e^x-x-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=[/tex][tex]\frac{e^x-x-xe^x+x}{(e^x-x)^2}=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}[/tex]
Atunci, f'(1) va fi:
[tex]f'(1)=\frac{(1-1)e^1}{(e^1-1)^2}=0[/tex]
Punctul c)
Rezolvam ecuatia f'(x)=0 pentru a gasi punctele critice.
f'(x)=0
O fractie este 0 cand numaratorul este 0 si avem:
[tex]e^x(1-x)=0 [/tex]
[tex] e^x=0~(fals) [/tex]
[tex] 1-x=0=>x=1[/tex]
Facem tabelul de semn:
x |-inf___________1_______________inf
f' |+++++++++++++++0--------------------------------
f |__crescatoare__f(1)__descrescatoare__
Deci, conform tabelului avem ca:
- f este crescatoare pe (-inf,1)
- f este descrescatoare pe (1,inf)
