Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia :

Log in baza 5 din x + Log in baza x din 5 = 5/2

|¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯|#OptiTeam|¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯|

❆ Cerință: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:

log₅x + logₓ5 = 5 / 2

❆ Răspuns:

C.E. : x > 0                   → condiții de existență

        x ≠ 1

❆ Folosind formula de schimbare a bazei obținem:

logₓ5 = 1 / log₅x

❆ Notăm log₅x cu "y".

y + 1 / y = 5 / 2  → numitor comun 2y

2y² + 2 = 5y

2y² - 5y + 2 = 0

Δ = b² - 4ac = ( -5 )² - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9 = 3²

y₁,₂ = -b±√Δ / 2a

y₁ = ( 5 + 3 ) / 4 = 8 / 4 = 2

y₂ = ( 5 - 3 ) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2

❆ Înlocuim:

log₅x = 2 ⇒ x₁ = 5² ⇒ x₁ = 25

log₅x = 1 / 2 ⇒ x₂ = [tex]5^{1/2}[/tex] ⇒ x₂ = √5

S = { √5 ; 25 }

❆ FORMULĂ DE SCHIMBARE A BAZEI: ❆

logₐx = 1 / logₓa

|__________________|#OptiTeam|__________________|