Suma muchiilor este 120 cm ⇒ AB = 10 cm
a) A'B, BC', A'C' sunt diagonalele fețelor cubului ⇒ sunt congruente
A'B ≡ BC' ≡ A'C' ⇒ ΔA'BC' este echilateral
Diagonala unei fețe are lungimea:
[tex]d = \ell\sqrt{2} \implies A'B = 10\sqrt{2} \ cm[/tex]
Aria triunghiului echilateral:
[tex]\mathcal{A}_{\Delta} = \dfrac{\ell^2\sqrt{3} }{4} \implies \mathcal{A}_{\Delta A'BC'} = \dfrac{A'B^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{(10\sqrt{2})^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{200\sqrt{3} }{4} = \bf 50\sqrt{3} \ cm^2[/tex]
b) Cea mai scurtă distanță dintre punctele A și M o aflăm din desfășurarea în plan a cubului. M este mijlocul DD' ⇒ DM = 5 cm
Avem triunghiul dreptunghic ADM, cu catetele DM și AD, iar ipotenuza AM = AS+ST+TM
AD = AB + BC + CD = 3 · 10 = 30 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔADM:
[tex]AM = \sqrt{AD^2 + DM^2} = \sqrt{30^2 + 5^2} = \sqrt{900 + 25} = \sqrt{925} > \sqrt{900} = 30[/tex]
Deoarece AM > 30 cm ⇒ valoarea minimă a AS+ST+TM este mai mare de 30 cm
q.e.d.
