5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC, cu A=90° şi B=60° şi triunghiul echilateral ADC. E este mijlocul laturii AC, iar F este mijlocul laturii BC, iar DE = 6cm.
a) Aratați că perimetrul triunghiul ADC este egal cu 12√3cm.

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{ \red{\mathcal{A}_{\Delta ADC} = 12\sqrt{3} \ cm^2}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

ΔADC este echilateral, E este mijlocul laturii AC ⇒ DE este mediană ⇒ DE este înălțime

Formula înălțimii triunghiului echilateral:

[tex]\boxed{\boldsymbol{ h= \dfrac{\ell\sqrt{3} }{2} }}[/tex]

[tex]DE = \dfrac{AD\sqrt{3} }{2} \Rightarrow \dfrac{AD\sqrt{3} }{2} = 6 \Rightarrow AD = \dfrac{^{\sqrt{3})} 2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3} }{3} = 4\sqrt{3} \ cm\\[/tex]

Formula ariei triunghiului echilateral

[tex]\boxed{\boldsymbol{ \mathcal{A}_{\Delta} = \dfrac{\ell^2\sqrt{3} }{4} }}[/tex]

[tex]\mathcal{A}_{\Delta ADC} = \dfrac{AD^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{48\sqrt{3} }{4} = \bf 12\sqrt{3} \ cm^2\\[/tex]

✍ Reținem:

Într-un triunghi echilateral toate liniile importante (care pornesc din același vârf) coincid (înălțimea, mediana, bisectoarea, mediatoarea).